Titre : Une approche harmonique pour l’identification et le contrôle robuste des systèmes périodiques
Composition du jury :
Franck PLESTAN (L2SN, Ecole Centrale de Nantes) – Rapporteur.
Bernard BROGLIATO (INRIA Rhone-Alpes, Grenoble) – Rapporteur.
Florentina NICOLAU (ENSEA, Lab. Quartz, Cergy-Pontoise) – Examinatrice.
Andrea IANNELLI (University of Stuttgart) – Examinateur.
Pierre RIEDINGER (Université de Lorraine) – directeur de thèse.
Jamal DAAFOUZ (Université de Lorraine) – co-directeur de thèse.
Résumé :
Cette thèse présente des méthodes pour l’identification, l’analyse et la commande des systèmes linéaires périodiques (LTP) à temps continu, à l’aide de la modélisation harmonique. Par exemple, les systèmes linéarisés autour de trajectoires périodiques peuvent être décrits par des modèles LTP. Cependant, des difficultés sont posées par leur dépendance au temps, par opposition avec les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI). Ce travail propose trois contributions principales. Premièrement, nous proposons une nouvelle méthode d’identification pour les systèmes LTP à temps continu qui surmonte les limitations des techniques existantes. Identifier un modèle pour un système LTP revient à déterminer les coefficients de Fourier qui caractérisent sa dynamique d’état. Dans le domaine harmonique, le système est représenté par un modèle harmonique invariant dans le temps, doté d’une structure de Toeplitz. Bien que ce modèle soit théoriquement de dimension infinie, la méthode exploite la redondance de la dérivée d’état harmonique pour ramener le problème d’identification de dimension infinie à un problème de moindres carrés de dimension finie. La convergence de l’approximation de dimension finie vers la solution du problème de dimension infinie est établie. Ensuite, les difficultés numériques liées aux inégalités matricielles différentielles linéaires périodiques (PDLMI) sont surmontées en exploitant l’équivalence entre les PDLMI dans le domaine temporel et les inégalités matricielles linéaires par blocs de Toeplitz (TBLMI) dans le domaine harmonique. Pour résoudre ces TBLMI de dimension infinie, un opérateur de troncature assurant la consistance de la solution est introduit. Cela signifie que le problème de dimension infinie est transformé en un problème d’optimisation semi-définie de dimension finie, numériquement traitable et dont la convergence vers la solution du problème en dimension infinie est garantie. En exprimant les problèmes de contrôle périodique dans le domaine harmonique, les systèmes LTP peuvent être analysés à l’aide d’un cadre LTI. Les problèmes de commande robuste, tels que LQR, $H_2$ et $H_{infty}$ peuvent être résolus dans le domaine harmonique en les reformulant en TBLMIs. L’opérateur de troncature précédemment introduit est utilisé pour calculer le gain harmonique optimal. Ce dernier peut ensuite être reconverti en un gain périodique pour une implémentation dans le domaine temporel. Nous étayons nos contributions théoriques par une série d’exemples illustratifs qui démontrent l’efficacité de notre approche.