Sujet de Thèse
Titre :
Inversion stable d'opérateurs mal posés avec des espaces de solutions non-linéaires et structurés
Dates :
2024/09/01 - 2027/08/31
Description :
L'inversion d'opérateurs complexes mal posés (au sens de Hadamard) est un problème difficile qui trouve application dans de nombreux domaines de l'ingénierie. Cette inversion conduit généralement à des problèmes non linéaires dont les solutions directes sont très sensibles aux perturbations, rendant ainsi leur interprétation difficile. Ainsi, pour obtenir des solutions stables en présence de mesures perturbées, il est essentiel d'imposer des contraintes adéquates sur la structure de l'espace des solutions faisables.

Quelques exemples importants de telles contraintes sont le lissage (i.e., la minimisation de la dérivée) et la parcimonie. Ces contraintes ont été largement étudiées et utilisées pour fournir des résultats d'identifiabilité, en particulier pour les opérateurs linéaires et stochastiques [1]. Une autre contrainte structurelle largement utilisée est basée sur les modèles matriciels et tensoriels de rang faible [2], qui sont interprétables et permettent une bonne représentation de nombreux types de solutions non parcimonieuses.

Toutefois, pour obtenir des résultats d'identifiabilité pour des classes d'opérateurs plus complexes (opérateurs impliquant des non-linéarités importantes ou avec un codomaine de faible dimension), ou dans les cas où les mesures sont sujettes à de fortes perturbations, il est nécessaire de prendre en compte des contraintes plus élaborées. Une contrainte présentant un intérêt tout particulier consiste à supposer que la solution appartient à l'image d'une fonction non linéaire structurée (par exemple, un polynôme), ce qui permet de développer des résultats d'identifiabilité pour des scénarios plus difficiles [3]. Néanmoins, malgré l'importance de ce problème, l'étude théorique de l'unicité et de la stabilité des solutions dans ces cas difficiles n'est encore qu'à ses débuts.

En exploitant les liens entre le comportement local de ces modèles et les décompositions tensorielles d'ordre élevé de rang faible, ce projet vise à étudier les conditions d'identifiabilité des solutions dans les contextes décrits ci-dessus. Deux objectifs importants de ce travail sont de démontrer l'unicité générique, avec des conditions s'appliquant à toute mesure continue sur l'espace des paramètres, et de développer des résultats de stabilité pour les solutions, en présence de fortes perturbations.

[1] Candès, Emmanuel J., Justin Romberg, and Terence Tao. "Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information." IEEE Transactions on information theory 52.2 (2006): 489-509.
[2] Lin, Zhouchen, Minming Chen, and Yi Ma. "The augmented lagrange multiplier method for exact recovery of corrupted low-rank matrices." arXiv preprint arXiv:1009.5055 (2010).
[3] Domanov, Ignat, and Lieven De Lathauwer. "Generic uniqueness of a structured matrix factorization and applications in blind source separation." IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing 10.4 (2016): 701-711.
Mots clés :
Unicité, décompositions tensorielles, données multidimensionelles
Conditions :
Thèse en 36 mois à la Faculté des Sciences et Technologies, Vandoeuvre-lès-Nancy.
Département(s) : 
Biologie, Signaux et Systèmes en Cancérologie et Neurosciences
Financement :
Projet ANR LENTILLE