Sujet de Thèse

** Résumé : Les futures générations de systèmes de contrôles critiques pour la sécurité devront fonctionner sous de multiples contraintes. Celles-ci concernent aussi bien les états internes, qui doivent rester dans des plages admissibles (par exemple, la concentration biologique, le niveau de carburant ou l'état de charge d'une batterie doivent rester positifs), que les actionneurs, toujours soumis à des limites de saturation. Les ressources globales de contrôle (réserves d'énergie, fluides ou toutes autres ressources consommables) sont également nécessairement limitées. De nombreuses applications illustrent ces enjeux, qu'il s'agisse de l'administration d'insuline en boucle fermée (« pancréas artificiel »), du pilotage de drones autonomes, ou encore de divers systèmes biologiques, écologiques ou techniques. La prise en compte de telles contraintes dans la conception de lois de commande est, dans une certaine mesure, bien établie. Cependant, dans de nombreux cas, les ressources disponibles ne le sont que pour une durée déterminée, ou bien la sûreté impose d'en restreindre l'utilisation sur un horizon temporel fixé. C'est précisément le cas pour tout problème de contrôle impliquant des ressources limitées au cours d'une mission (réservoirs d'insuline ou de carburant, énergie de la batterie, etc.). On pourrait désigner ces contraintes sous le terme de « contraintes de mémoire », car elles régissent l'évolution et la disponibilité des ressources au cours du temps. De telles contraintes soulèvent encore des défis qui restent inexplorés dans la littérature. L'objectif de cette thèse est d'analyser leur impact et de développer un cadre méthodologique permettant de les intégrer de manière rigoureuse dans la conception des systèmes de contrôle critiques.

** Problématique et contexte général :

L'étude des problèmes de contrôle avec des contraintes intégrales strictes est cruciale, car elle reflète les limites du monde réel. Dans de nombreuses situations, telles que l'administration de médicaments, la gestion de l'énergie ou les systèmes d'ingénierie aux ressources limitées, il existe des limites strictes portant sur quantité de ressources pouvant être consommées sur une période de temps. Les conceptions de contrôles classiques ignorent généralement ces limitations, ceci peut conduire à des solutions mathématiquement optimales mais irréalisables en pratique.

Dans ce travail, le caractère limité des ressources s'exprime comme une contrainte sur l'intégrale temporelle du contrôle. Plus précisément, sur un horizon temporel fixe, l'intégrale du contrôle doit rester inférieure à une constante donnée. L'objectif est de concevoir des lois de commande garantissant la stabilisation en présence de telles contraintes. Cependant, on ne sait pas comment construire de façon systématique un feedback stabilisant avec une limite intégrale, si des solutions de rétroaction existent toujours et sous quelles conditions des comportements « bang-bang » ou saturants apparaissent.

Le problème de la conception de lois de contrôle sous contraintes intégrales a été abordé principalement dans le contexte du contrôle optimal. Par exemple, dans ses travaux sur la pharmacocinétique [2], Bellman a formulé des problèmes de dosage contraint et démontré comment la programmation dynamique pouvait être utilisée pour garantir des limites intégrales. Motivés par la planification de vols avec une quantité de carburant limitée, le problème de « minimal fuel control » a été étudié, cf. [1, Chapitres 6 et 8]. Ces problèmes s'apparentent aux contraintes intégrales en mettant l'accent sur l'efficacité et la gestion des ressources. Ces études ont utilisé des outils basés sur la programmation linéaire [5] et des approches basées sur les EDP [3,4].

Cependant, ces approches ne répondent pas directement à une question plus pratique : comment suivre ou stabiliser une trajectoire cible tout en assurant que l'effort de contrôle total disponible n'est pas dépassé ? Cette lacune motive un examen plus approfondi des structures des lois de commande et des méthodes de synthèse dans le cadre de contraintes intégrales.

Voici quelques questions ouvertes qui sont envisagées pour la thèse : -- Dans quelles conditions le système est-il contrôlable ? S'il n'est pas contrôlable, peut-on caractériser les états atteignables, en particulier les états stationnaires sont-ils contrôlables ? -- Pour obtenir un contrôle, il est naturel de chercher un contrôle minimisant une fonction coût. Quelles sont les conditions d'optimalité, le principe du maximum de Pontryagin peut-il être appliqué dans ce cas ? -- Peut-on construire une loi de rétroaction stabilisant le système tout en satisfaisant la contrainte ? Peut-elle en outre minimiser un coût ? La théorie de Lyapunov peut-elle être utilisée pour trouver une loi de rétroaction ?

** Références : [1] M. Athans and P. L. Falb. Optimal control. McGraw-Hill Electr. Electron. Eng. Ser. McGraw-Hill Book Company, New York, NY, 1966. [2] R. Bellman. Topics in pharmacokinetics, III: Repeated dosage and impulse control. Math. Biosci., 12(1):15, 1971. [3] A. Kumar and A. Vladimirsky. An ecient method for multiobjective optimal control and optimal control subject to integral constraints. J. Comput. Math., 28(4):517551, 2010. [4] I. Mitchell and S. Sastry. Continuous path planning with multiple constraints. In 42nd IEEE International Conference on Decision and Control (IEEE Cat. No.03CH37475), volume 5, pages 55025507 Vol.5, 2003. [5] C. M. Waespy. An application of linear programming to minimum fuel optimal control. Technical Report 67-16, University of California, Los Angeles. NASA, June 1967