Sujet de Thèse

Les systèmes dynamiques fractionnaires constituent une branche émergente des mathématiques appliquées et de la modélisation des systèmes complexes. L'importance de ces systèmes réside dans leur capacité à capturer des phénomènes non linéaires et imprévisibles observés dans de nombreux phénomènes naturels et artificiels souvent négligés ou mal représentés par les modèles traditionnels basés sur les dérivées entières.

Les travaux de recherche, dans le cadre de cette thèse, portent sur trois volets :

- Développer de nouveaux opérateurs fractionnaires et étudier leurs propriétés mathématiques en vue de la construction de méthodes de résolution efficientes. Les modèles épidémiologiques fractionnaires serviront comme modèles d'étude et de comparaison. Ils permettent de prendre en compte les effets de mémoire dans la transmission des maladies, de modéliser l'hétérogénéité des populations de manière plus précise, et d'intégrer les comportements non exponentiels pour une meilleure représentation des dynamiques épidémiologiques.

- Le deuxième volet concerne la modélisation de ces phénomènes par les réseaux de neurones physiquement informés (PINNs) afin d'évaluer leurs performances, en termes de calcul, précision, rapidité et stabilité, vis-à-vis des méthodes développées dans le premier volet.

- Enfin, développer des stratégies de contrôle basées IA, génériques, pour cette classe de systèmes lorsque le modèle est connu ou non. Un des défis majeurs est d'établir les conditions d'existence et de stabilisation, très peu exploré à ce jour.

Références : 1 - Podlubny, I. (1999). Fractional differential equations: An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution, and some of their applications. Academic Press. 2 - Singh, H., Kumar, D., & Baleanu, D. (2023). A review on epidemic models in sight of fractional calculus. Alexandria Engineering Journal, 77, 81-113. 3 - Kharazmi, E., Cai, M., Zheng, X., Zhang, Z., Lin, G., & Karniadakis, G. E. (2021). Identifiability and predictability of integer- and fractional- order epidemiological models using physics-informed neural networks. Nature Computational Science, 1, 744-753. 4 - Sweilam, N. H., Al-Mekhlafi, S. M., & Baleanu, D. (2022). Application of fractional optimal control theory for the mitigating of novel coronavirus in Algeria. Chaos, Solitons & Fractals, 158, 112041.