CRAN - Campus Sciences
BP 70239 - 54506 VANDOEUVRE Cedex
Tél : +33 (0)3 72 74 52 90 Fax : +33 (0)3 72 74 53 08
cran-secretariat@univ-lorraine.fr
 
 
Sujet de Thèse : Algorithmes d'inversion haute résolution régularisée par la parcimonie
Dates : 2016/10/01 - 2019/09/30
Etudiant : Thi Thanh NGUYEN
Directeur(s) CRAN : Charles SOUSSEN , El-Hadi DJERMOUNE
Autre(s) Directeur(s) : IDIER Jérôme (jerome.idier@irccyn.ec-nantes.fr)
Description : Contexte
------------

Cette thèse concerne l'utilisation de la parcimonie pour régulariser des problèmes inverses mal posés. Depuis une dizaine d'années, la communauté du traitement du signal et des images manifeste un immense intérêt pour le concept de représentation parcimonieuse, et de nombreux algorithmes ont été proposés. Cependant, la plupart trouvent
leurs limites lorsqu'on souhaite reconstruire des signaux hautement résolus, car cela conduit à définir un dictionnaire fortement redondant. Dans ce cas, des algorithmes plus sophistiqués doivent être proposés.

L'application visée dans le projet ANR BECOSE est la PIV tomographique (Particle Image Velocimetry), une modalité récente d'imagerie de fluides en mouvement donnant lieu à un problème de reconstruction d'image 3D positive. Pour cette application, un défi majeur est de pouvoir reconstruire des images hautement résolues pour des niveaux de
parcimonie variables.

Objectifs
------------

La régularisation parcimonieuse consiste à représenter le signal ou l'image à reconstruire en utilisant un nombre restreint d'éléments d'un dictionnaire sur-dimensionné A. La reconstruction parcimonieuse s'écrit comme un problème d'optimisation du type :

(1) min_x { || y-Ax ||_2^2 + lambda || x ||_0 },

où la "norme" l_0 (|| x ||_0) compte le nombre d'éléments non nuls du vecteur x. Ce problème est de nature combinatoire, car la difficulté principale est de trouver le support de x. De plus, il est connu pour être NP-complet. On peut distinguer deux classes d'algorithmes sous-optimaux:

1. Les algorithmes gloutons l_0 (e.g., OMP, OLS et leurs extensions "forward-backward") consistent à traiter directement le problème (1) en sélectionnant ou dé-sélectionnant un atome à chaque itération. Ces algorithmes sont généralement bien adaptés aux problèmes très parcimonieux (|| x ||_0 est faible, lambda est grand).

2. Les approches qui utilisent une formulation approchée du problème (1), où || x ||_0 est remplacé par une mesure de parcimonie sum_i phi(x_i) continue et non-différentiable en 0. Cette stratégie est généralement mieux adaptée aux problèmes moins parcimonieux.

Plusieurs auteurs ont récemment démontré l'équivalence entre ces deux formulations pour certaines classes de fonctions phi non-convexes. Ces résultats apportent de nouvelles perspectives algorithmiques pour traiter le problème exact de minimisation l_0 en appliquant des algorithmes efficaces d'optimisation continue non-convexe.

Trois objectifs complémentaires pourront être poursuivis dans cette thèse.

I. Continuation
--------------------

Le premier concerne le concept de continuation: il s'agit de résoudre (1) pour un continuum de valeurs de lambda. Nous avons récemment proposé des algorithmes gloutons de type forward-backward (CSBR, l_0-Path Descent) et montré l'intérêt de l'approche par continuation pour l'estimation non-supervisée du degré de parcimonie || x ||_0. L'objectif sera de proposer des solutions adaptées aux régularisations moins parcimonieuses, via des relaxations continues de la norme l_0.

II. Parcimonie et positivité
-----------------------------------

Un deuxième objectif concerne la prise en compte de la contrainte de positivité en plus de celle de parcimonie. Cela ne pose pas de difficulté algorithmique lorsque la mesure de parcimonie est continue. En revanche, la conception d'algorithmes gloutons positifs (extensions d'OMP et OLS) est plus ardue, et plusieurs auteurs s'y sont récemment
intéressés. Notre objectif est de proposer des implémentations rapides de versions positives d'algorithmes gloutons de type forward-backward qui puissent être compatibles avec une stratégie de continuation.

III. Dictionnaires discrets vs. continus
---------------------------------------------------

Le dictionnaire A est généralement induit par la discrétisation d'atomes sur une grille de taille finie. Par exemple, une grille 3D est considérée pour le problème de reconstruction volumique en tomographie PIV. Le choix de la grille est un facteur critique, car le problème inverse est d'autant plus délicat à résoudre (augmentation du nombre d'inconnues, mauvais conditionnement du dictionnaire) que la grille est finement résolue. La littérature récente a vu l'émergence
d'approches continues (i.e., le dictionnaire se présente comme un continuum d'atomes) dans le but d'éviter les problèmes numériques liés à la discrétisation. Des extensions continues d'algorithmes discrets ont été proposées pour traiter des problèmes de déconvolution impulsionnelle et de synthèse de Fourier. Le troisième objectif de la thèse est de comprendre dans quelle mesure l'approche par dictionnaires continus peut permettre un gain d'efficacité par rapport aux algorithmes discrets que nous avons déjà proposés, et de proposer d'autres algorithmes continus.
Mots clés : Problèmes inverses, parcimonie, haute résolution, reconstruction d'image, tomographie
Conditions : Cette thèse est financée par le projet ANR BECOSE (2016-2019): "BEyond COmpressive SEnsing: Sparse approximation algorithms for ill-conditioned inverse problems".

Profil du candidat recherché :
Le candidat, titulaire d'un Master 2 ou d'un diplôme d'ingénieur, devra avoir des connaissances solides en mathématiques et en traitement du signal et des images, bien maîtriser les outils de programmation scientifique (Matlab, C/C++, etc.) et posséder un bon niveau d'anglais.

Encadrement :
La thèse sera co-encadrée par Charles Soussen (CRAN, directeur de thèse), El-Hadi Djermoune (CRAN) et Jérôme Idier (IRCCyN). Elle se déroulera principalement au CRAN (Nancy), avec plusieurs séjours prévus à l'IRCCyN (Nantes).

Candidature :
Contacter Charles Soussen (charles.soussen@univ-lorraine.fr) en adressant votre CV, une lettre de motivation, une lettre de recommandation (au minimum) et vos résultats universitaires des dernières années, avec classements.
Département(s) :
Santé - Biologie - Signal
Financement : Projet ANR BECOSE (2016-2019) : BEyond COmpressive SEnsing
Publications : hal-00948313, hal-00443842, hal-00680714    + CRAN - Publications