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Sujet de Thèse : Commande sans modèle tolérante aux défauts des systèmes décrits par des équations aux dérivées partielles
Dates : 2014/10/03 - 2017/09/30
Etudiant : Maxime DOUBLET
Directeur(s) CRAN : Cédric JOIN , Frédéric HAMELIN
Description : L’utilisation des équations aux dérivées partielles (EDP) à des fins de modélisation/commande de systèmes physiques est classique. Pour exemple, ces dernières sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou encore la prévision météorologique. Elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique du solide, mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) ou des mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Les dynamiques des systèmes considérés peuvent être régies par des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires et leurs variables caractéristiques, qui sont généralement de nature distribuée, peuvent dépendre des variables temps et espace. Ces systèmes sont souvent qualifiés de systèmes à paramètres distribués (SPD) ou systèmes de dimension infinie.

Globalement, identifier, simuler et contrôler des systèmes régis par des EDP restent des problèmes complexes [1,4]. Plus
spécifiquement, synthétiser une loi de commande performante et tolérante à certains défauts sur une large plage de fonctionnement est un problème ouvert pour de tels systèmes particulièrement dans un contexte non linéaire. Une approche conventionnelle consiste à réduire les EDP à des équations aux dérivées ordinaires (EDO) en utilisant des techniques de réduction ou d’approximation. Ces méthodes permettent en effet de réduire le SPD à un système à paramètres localisés (SPL) de dimension finie, pour lequel des techniques performantes de commande tolérante existent. Cependant, la nature distribuée du système peut être complètement masquée par le processus de réduction ou d’approximation car elle dépend directement du nombre et de la localisation des points de linéarisation considérés. De plus, l’occurrence d’un défaut peut avoir pour effet d’entrainer le système vers des zones dépourvues de point de linéarisation. Dans ce contexte, il apparait que le modèle donné sous forme EDP constitue l’approche la plus intéressante puisque la nature distribuée du système est conservée. Néanmoins, la manipulation des EDP engendre des difficultés d’ordre mathématique.

La commande sans modèle (CSM) récemment co-inventée par Michel Fliess et Cédric Join semble particulièrement intéressante à utiliser pour commander des systèmes régis par des EDP par le fait que grâce à l’écriture d’un modèle « ultra-local » constamment réactualisé, cette commande ne nécessite pas de modèle global décrivant le comportement du système. Aussi, aucune difficulté d’ordre mathématique n’est à craindre par la manipulation d’EDP. De plus, du fait de son caractère adaptatif, la commande sans modèle présente l’avantage de rejeter les perturbations tout comme les défauts de type actionneur/système. Cette capacité intrinsèque diminue les retards à la réaction souvent liés à des prises de décision tardives issues des modules de diagnostic. Enfin, l’engouement tant industriel (plusieurs brevets) qu’universitaire (plusieurs thèses soutenues cette année) témoigne d’un intérêt majeur pour ce type de commande qui ne requiert que peu de connaissances a priori.

Aujourd’hui, comme le montre la bibliographie en fin de texte [2,3], la commande par CSM a été appliquée aux cas des systèmes décrits par des EDO linéaires ou non. En revanche, même si quelques essais concluant existent, peu d’exemples touchent au problème des EDP.

Diverses classes d’EDP existent, parmi lesquelles celles classiques du second-ordre dites paraboliques, elliptiques ou encore
hyperboliques. Après l’inventaire des catégories les mieux adaptées à modéliser des systèmes physiques, le doctorant s’attachera à déterminer précisément leurs particularités et à réaliser l’inventaire des solutions existantes de contrôle et d’estimation. Ce sujet étant très vaste, les équations du premier et deuxième ordre seront principalement considérées ce qui n’empêchera pas l’examen de quelques équations classiques d’ordre plus élevé. Des preuves de concept en simulation ainsi que la détermination précise des limites de la CSM constituent la seconde étape.

Le doctorant prendra soin d’appliquer les techniques développées à au moins un système physique. Pour une première application concrète, un système mécanique de type plaque et/ou poutre semble parfaitement adapté. Visant ce type d’application et suivant le choix du doctorant, diverses collaborations avec d’autres laboratoires pourront être envisagées au niveau national (INSA Lyon, LBMS Brest,…) ou au sein même de la Fédération Charles Hermite (IECL).

[1] Coron, J.-M., et Trélat, E. (2004). Global steady-state control- lability of one-dimensional semilinear heat equations. SIAM Journal on Control and Optimization, 43, 549-569.
[2] Fliess, M., et Join, C. (2013) Model-free control, International Journal of Control, 86:12, 2228-2252.
[3] Gédouin, P.-A., Delaleau, E., Bourgeot, J.-M., Join, C., Arab-Chirani, S., et Calloch, S. (2011). Experimental comparison of classical pid and model-free control: Position control of a shape memory alloy active spring. Control Engineering Practice, 19, 433-441.
[4] Stauch, C., Gehring, N., et Rudolph, J. (2013). Algebraic parameter identification for infinite dimensional fluid transmission line models. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 10, 733-743.
Mots clés : Commande sans modèle, commande tolérante aux fautes, équations aux dérivées partielles
Département(s) :
Contrôle Identification Diagnostic
Financement : Contrat doctoral UL de l'Ecole Doctorale IAEM Lorraine