Sujet de stage
Titre :
Traitement de signaux 3D et 4D par décomposition tensorielles quaternioniques
Dates :
2022/04/01 - 2022/08/31
Autre(s) encadrant(s) :
Luciani Xavier (xavier.luciani@univ-tln.fr)
Description :
Contexte : Le traitement efficace des données 3D et 4D est essentiel dans de nombreuses applications telles que la robotique, l'imagerie couleur et
polarimétrique, etc. De telles données multicanaux sont souvent représentées à l'aide de quaternions - une généralisation des nombres complexes en quatre
dimensions - dans le but de de simplifier les expressions et de tirer parti des propriétés géométriques et physiques uniques offertes par cette représentation
algébrique. Lorsque les données 3D/4D sont mesurées selon de multiples diversités (par exemple, le temps, la fréquence, l'espace, etc.), les jeux de données
peuvent être représentés comme des tableaux multidimensionnels de quaternions - également appelés tenseurs quaternioniques.

Résumé : Bien que les tenseurs à valeurs quaternioniques puissent encoder de manière compacte et pertinente des ensembles de données 3D/4D, ils
définissent un objet mathématique difficile pour lequel peu de résultats sont actuellement disponibles. Ceci peut s'expliquer par la non-commutativité de la
multiplication des quaternions, qui empêche une utilisation directe des méthodes tensorielles développées à l'origine pour les tenseurs réels et complexes
[1]. Pourtant, à partir de résultats récents sur les factorisations contraintes de matrices quaternioniques [2], nous avons proposé un cadre rigoureux pour
effectuer des décompositions de tenseurs à valeurs quaternioniques. Ce stage de M2R tirera profit de ce nouveau cadre et développera des algorithmes
efficaces pour effectuer des décompositions de tels tenseurs. Dans un premier temps, le candidat se concentrera sur la décomposition polyadique canonique
(CPD) dans le cadre quaternions, un outil fondamental qui permet de décomposer un tenseur quaternion en termes de rang un. Il développera et comparera
les performances de deux catégories d'algorithmes effectuant la CPD quaternionique : (i) basés sur une reformulation du tenseur sous contrainte réelle,
inspirée de [3], et (ii) des algorithmes basés sur une formulation quaternionique complète. En outre, il/elle appliquera la méthodologie proposée à l'étude
d'ensembles de données réelles provenant de plusieurs applications, telles que l'imagerie couleur (données 3D) et l'imagerie de polarisation (données 4D).
Un objectif clé sera de comparer les performances des décompositions tensorielles quaternioniques par rapport aux décompositions tensorielles standards
issues d'une modèle réel équivalent.
Département(s) : 
Biologie, Signaux et Systèmes en Cancérologie et Neurosciences