Sujet de Thèse
Titre :
Jeux Dynamiques Stochastiques à Champ Moyen
Dates :
2022/10/01 - 2025/09/30
Description :
Le but de la théorie des jeux à champ moyen (MFG) est l'étude des jeux différentiels déterministes ou stochastiques lorsque le nombre d'agents tend vers l'infini. Elle a été introduite à l'origine et de manière indépendante dans les travaux pionniers de J-M. Lasry et P-L. Lions [5, 6, 7] ainsi que par Caines, Huang et Malhamé sous le nom de principe d'équivalence certaine de Nash [4]. Dans les MFG, on suppose que les agents sont indiscernables et ont individuellement une influence négligeable sur le jeu, et que chaque stratégie individuelle est influencée par des moyennes de quantités dépendant des états (ou des contrôles) des autres agents. Les applications des MFG sont nombreuses, allant de
l'économie, des grands réseaux de communication à l'étude du mouvement des foules, etc.

Dans cette thèse, nous nous concentrerons principalement sur une sous-classe particulière de systèmes stochastiques à champ moyen, à savoir les systèmes linéaires de type Mckean-Vlasov (M-V). Une caractéristique remarquable de ce type d'équations différentielles stochastiques (SDE) est qu'elles peuvent caractériser efficacement les systèmes dynamiques de grandes populations soumis à une inter- action en champ moyen avec de nombreuses applications en physique, biologie, économie et finance, réseaux, etc. Une étude bibliographique sur le sujet du contrôle des systèmes de type M-V nous amène à conclure qu'il existe très peu de résultats portant sur les problèmes de jeux dynamique pour ce type de systèmes. L'un des objectifs de cette thèse est de contribuer à la résolution de problèmesde jeux dynamiques pour cette classe de systèmes stochastiques à champ moyen. Comme perspective à court terme, nous aimerions étendre nos résultats récents ([1]) sur les jeux dynamiques linéaires quadratiques (LQ) à somme nulle en horizon fini au cas à horizon infini. En adoptant une approche de type Ricatti, notre objectif est de construire des stratégies optimales sous forme feedback. Dans ce contexte, nous pensons que les solutions stabilisantes d'équations de Riccati généralisées correctement définies joueront un rôle clé dans le processus de résolution. L'un des principaux défis ici sera la définition d'un concept de stabilité adéquat pour cette classe de systèmes. Comme perspective à moyen terme, nous aimerions aborder les jeux dynamiques stochastiques non coopératifs, à savoir : les jeux dynamiques stochastiques à somme non nulle. Plus précisément, nous nous intéressons aux jeux stochastiques de type Nash et de type Stackelberg. Nous estimons qu'il existe encore des problèmes ouverts quant à la définition des relations de point-selle pour de tels jeux dynamiques ainsi que dans la caractérisation des solutions définies globalement pour les équations de Riccati généralisées apparaissant dans la résolution de tels jeux.

Le deuxième axe de recherche que nous souhaitons aborder dans cette thèse est lié au contrôle impulsif des systèmes stochastiques à champ moyen. Les systèmes de contrôle impulsif sont une classe de systèmes hybrides dans lesquels l'état se propage selon une dynamique en temps continu, à l'exception d'un ensemble dénombrable d'instants auxquels l'état peut changer instantanément (de façon discontinue). Ces systèmes sont adéquats pour modéliser un certain nombre d'applications réelles. Nous pouvons citer par exemple le problème de distribution de médicaments dans le corps humain, la gestion des ressources renouvelables, les systèmes de contrôle à données échantillonnées en tenant compte du comportement inter échantillons, la synchronisation dans des réseaux hétérogènes, etc. Motivés par nos récents résultats portants sur le contrôle robuste des systèmes stochastiques linéaires avec sauts ([3]), nous aimerions, comme perspective à moyen terme, explorer la possibilité d'enrichir la théorie de type Riccati développée dans [3] afin de traiter le cas du champ moyen. Nous 45 pensons que l'approche de décomposition proposée dans [9] pourrait être un ingrédient intéressant dans cette perspective.

D'un point de vue applicatif, nous espérons que les résultats théoriques obtenus permettront l'application de stratégies de commande innovantes sur la problématique névralgique de la gestion de l'eau, qu'il s'agisse des systèmes de distribution d'eau potable, ou des systèmes d'assainissement des eaux usées ([2, 8]), en continuité directe des résultats obtenus sur le projet FUI SPHEREAU concernant la gestion efficiente des ressources en eau.
Mots clés :
Jeux dynamiques, systèmes stochastiques, champ moyen.
Conditions :
Établissement : Université de Lorraine
Laboratoire : CRAN Centre de Recherche en Automatique de Nancy (site web)
Directeur de thèse : Samir Aberkane et Vincent Laurain
Début de la thèse : 01/09/2022
Durée du contrat : 3 ans
Financement : Contrat Doctoral de l'Université de Lorraine
Rémunération : env. 1500 euros / mois net
Profil du candidat : Master ou diplôme d'ingénieur en Automatique et/ou Mathématiques Appliquées
Département(s) : 
Contrôle Identification Diagnostic
Financement :
Contrat doctoral.