Sujet de Thèse
Titre :
Contrôle en dimension finie d'une classe d'équations aux dérivées partielles non linéaires.
Dates :
2020/04/06 - 2022/08/31
Etudiant :
Encadrant(s) : 
Autre(s) encadrant(s) :
JAMMAZI Chaker - MCF-HDR (chaker.jammazi@ept.rnu.tn)
Description :
Ce sujet de recherche, qui s'inscrit dans le cadre de la collaboration scientifique entre le Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN) et le
Laboratoire d'Ingénierie Mathématiques (LIM) - Ecole Polytechnique de Tunisie, porte sur la commande en dimension finie d'une classe d'Equations aux
Dérivées Partielles (EDP) non linéaires. Il aborde à la fois la problématique de la commande des systèmes non linéaires de très grandes dimensions et, le
développement d'algorithme d'ordre réduit pour une mise en oeuvre temps-réel. Une des motivations principales concerne l'application de ces approches à
l'équation de Vlasov-Poisson. Cette dernière décrit l'évolution de la fonction de distribution de particules chargées dans un plasma.
La majeure partie des travaux dans la littérature sur les équations de Vlasov-Poisson concerne l'analyse et la discrétisation de ces équations [6] à [9], mais
très peu de résultats existent sur le contrôle. A notre connaissance, les rares travaux dans ce domaine sont décrits dans [1]-[2]-[3]. C'est un point dur car il
existe très peu d'outils mathématiques en dimension infinie et encore moins lorsque plusieurs EDP sont couplées et non linéaires. Une solution alternative
consiste à utiliser des approches de contrôle non linéaires en dimension finie sur un modèle discrétisé de l'équation de Vlasov-Poisson. Cette technique ne
peut être performante que si le modèle approché converge vers la solution réelle lorsque le pas de discrétisation converge vers zéro.
Cette stratégie a été utilisée récemment pour résoudre le problème de l'observation et de la commande dans les transferts énergétiques par conduction et
rayonnement (EDP fortement couplées), et a donné des résultats très prometteurs [4][5]. Cependant, le système discret obtenu est un système de très grande
dimension dont l'état peut atteindre plusieurs milliers de points. Il est utile de souligner que la simulation de tels systèmes peut durer plusieurs jours, voire
même quelques semaines. Les défis à relever dans ce travail de recherche peuvent être résumés comme suit : Dans un premier temps, il faut développer une
stratégie de discrétisation stable, garantissant la convergence vers la solution réelle lorsque le pas converge vers zéro. C'est un point très important puisqu'il
assure que l'estimateur qui sera développé convergera également vers la solution réelle. Ensuite développer des stratégies de commande du système
approché en dimension finie et déduire les conditions de convergence. Il s'agit également d'évaluer les performances du controleur obtenu en termes de
temps de calcul, précision et robustesse par rapport aux erreurs de modélisation. Le dernier point concerne le développement et la mise en oeuvre
d'algorithmes d'ordre réduit afin de diminuer les temps de calcul pour des impératifs temps réel. La validation des résultats se fera à travers des simulations
numériques. 


Références:

1 - Coron, J.-M., Glass, O., and Wang, Z. Exact boundary controllability for 1-d quasilinear hyperbolic systems with a vanishing characteristic speed.
SIAM Journal on Control and Optimization 48, 5 (2009), 3105-3122.
2 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the vlasov-poisson system in the presence of external force fields. Journal of Differential
Equations 252, 10 (2012), 5453-5491.
3 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the relativistic vlasov-maxwell system. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 103,
3 (2015), 695-740.
4 - Ghattassi M., Boutayeb, M., « Non linear controller design for a class of parabolic-hyperbolic systems », Journal of Non Linear Systems and
Applications,Vol. 5, pp. 15-20, 2016.
5 - Ghattassi M., Boutayeb M. & Roche J. R.. Reduced order observer of finite dimensional radiative-conductive heat transfer systems. SIAM Journal
on Control and Optimization, 56 (4), pp.2485-2512, 2018.
6 Shyi‐Shiun Lee , Shih‐Tuen Lee & Jaw‐Yen Yang. Numerical solution of the system of Vlasov‐Poisson equations. Journal of the Chinese Institute
of Engineers, Vol.22,No.3,pp.341-350(1999)
7 Rossmanith JA, Seal DC. A positivity-preserving high-order semi-Lagrangian discontinuous Galerkin scheme for the Vlasov-Poisson equations. Journal
of Computational Physics , 230 (2011) 6203-6232
8 T. Utsumi, T. Kunugi, J. Koga. A numerical method for solving the one dimensional Vlasov-Poisson equation in phase space. Computer Physics
Communications (108), pp. 159-179, 1998
9 Xiaofeng Cai ; Wei Guo, Jing-Mei Qiu. A high order semi-Lagrangian discontinuous Galerkin method for Vlasov-Poisson simulations without operator
splitting. Journal of Computational Physics 354 (2018) 529-551
Mots clés :
EDP Vlasov-Poisson - Contrôle en dimension finie
Département(s) : 
Contrôle Identification Diagnostic