Sujet de Thèse
Titre :
Commande optimale de sortie
Dates :
2019/09/30 - 2022/10/30
Etudiant :
Encadrant(s) : 
Description :
1. Problématique générale, Contexte

De nombreux résultats existent en commandabilité et commande optimale. Par exemple, la commandabilité des systèmes linéaires de dimension finie est assurée par la condition du rang de Kalman. Il est moins connu que la commandabilité de la sortie de ce même système est assurée par une condition de rang similaire. Sous cette condition, en tout temps strictement positif, tout état initial peut être envoyé sur une sortie prescrite en ce temps.
Il est évident que la commandabilité de l'état du système implique la commandabilité de sa sortie.

Lorsque le système est commandable, le théorème de placement des pôles permet de construire un régulateur K tel que le contrôle u=Kx stabilise l'état du système. De plus, si l'on cherche à minimiser un coût quadratique en l'état et en le contrôle, il s'avère que le contrôle optimal s'exprime sous la forme d'un retour d'état statique: u=Kx, avec K un régulateur obtenu à l'aide d'une solution d'une équation de Riccati. Il est à remarquer que cet opérateur K est indépendant de l'état initial du système.

Lorsque l'état entier n'est pas accessible et que seule la mesure de la sortie est disponible, il est habituel de construire, à l'aide d'un observateur, une estimation de l'état, puis cette estimation pour calculer le contrôle. Cependant, cette stratégie ne permet nullement d'assurer l'optimalité de ce contrôle.
Dans cette thèse, on ne s'intéressera pas à la construction d'un observateur, mais à l'utilisation directe de la sortie.
On cherchera donc un contrôle sous la forme d'un retour de sortie, u=Fy.


2. Objectifs de la thèse

Dans un premier temps, il conviendra de s'intéresser au cas des systèmes linéaires. Une extension au cas des systèmes non-linéaires affines pourra être envisagée dans un second temps. Les questions soulevées ci-dessous pourront aussi être abordées dans le cadre des systèmes à temps discret.

La problématique de la thèse est d'explorer plus en détails les questions de contrôle optimal de sortie. Plusieurs questions se posent naturellement,
-- Un coût quadratique en l'état et en le contrôle est-il bien défini pour toutes conditions initiales?
En effet, si l'état du système est commandable, alors on peut envoyer n'importe quelle condition initiale sur l'origine en un temps fini, puis prendre le contrôle nul pour les temps suivants. Cependant, si seule la sortie est commandable, cette stratégie n'est pas possible, en effet, seule la sortie peut être envoyée sur l'origine. Bien entendu, ceci n'implique pas que l'état du système soit nul. Ainsi, la commandabilité de la sortie n'est pas suffisante pour assurer le caractère non-borné du coût.
-- Si le minimum de la fonction coût est fini, les contrôles optimaux peuvent-ils s'écrire sous la forme d'un retour de sortie?
Si tel est le cas, le régulateur de sortie peut-il être exprimé comme une solution d'une équation de Riccati? Peut-on décrire la dépendance de ce régulateur par rapport à la donnée initiale du système?

Il a été montré qu'il est généralement impossible de trouver un contrôle optimal de la forme u=Fy, avec F indépendamment de la condition initiale, cf. [1]. Une stratégie pour surmonter ces difficultés est de chercher un régulateur moyen, la moyenne étant prise par rapport à la condition initiale. Cette approche a été considérée par exemple dans les articles [2] et [3]. Cependant, cette stratégie n'est pas amplement convaincante du point de vue de la minimisation de la fonction coût initiale.

Une autre problématique est de prescrire une sortie au système. Plus précisément, quelles sont les conditions permettant d'assurer que la sortie du système reste dans le voisinage d'une (ou sur une) cible? Un tel résultat, combiné avec la première problématique de stabilisation, permettrait en effet de faire de la régulation de sortie.

Dans cette thèse, on s'intéressera aux questions susmentionnées. En particulier, on essaiera d'obtenir des conditions nécessaires ou suffisantes pour l'existence d'un contrôle optimal, l'expression de ce contrôle comme un retour de sortie...
Les résultats obtenus pourront, par exemple, être appliqués au cas du contrôle en moyenne, cf. [4].

De plus amples détails sur ce sujet peuvent être trouvés aux adresses :
http://w3.cran.univ-lorraine.fr/jerome.loheac/
http://w3.cran.univ-lorraine.fr/perso/marc.jungers/

[1] L. Huang and Z. Li. Solvability of quadratic optimal control via output feedback. Science in China Series A-Mathematics, Physics, Astronomy & Technological Science , 33(10) :12381245, 1990.
[2] Z.-G. Yang and X.-H. Wang. Fundamental theorem for optimal output feedback problem with quadratic performance criterion. In 2006 6th World Congress on Intelligent Control and Automation , volume 1, pages 18001804, June 2006.
[3] W. Levine and M. Athans. On the determination of the optimal constant output feedback gains for linear multivariable systems. IEEE Transactions on Automatic Control , 15(1) :4448, February 1970.
[4] E. Zuazua. Averaged control. Automatica , 50(12) :30773087, 2014.
Mots clés :
Contrôlabilité par retour de sortie, Contrôle optimal, Contrôle en moyenne, Équation de Riccati
Département(s) : 
Contrôle Identification Diagnostic